该押多少？凯利公式、半凯利，和那个让职业选手破产的 60/40 抛硬币游戏

人人都在问"我该买什么"，却几乎没人问"我该买多少"。而恰恰是第二个问题，决定你能不能活下来。一枚做了手脚的硬币、一位贝尔实验室的物理学家，以及一家由诺贝尔奖得主管理却爆仓的对冲基金，指向同一个教训：如果仓位太大，光有优势也救不了你。

仓位是连接"有利可图的想法"和"活得下去的路径"之间的桥梁。凯利公式给可重复的优势划定了一个数学上限；半凯利和更小的固定比例，则是承认一件事——你的估计会错、亏损会扎堆，而真实的人只能活出一条结果路径。

一个不可能输的游戏，28% 的人输光了

2013 年，Victor Haghani 和 Rich Dewey 做了一个实验，凡是下过单的人都该读一读。他们找来 61 名受过金融训练的参与者，包括经济学和金融学学生，以及两家顶级资产管理公司的分析师，每人发 $25，玩一个简单的电子游戏：抛一枚虚拟硬币 30 分钟，押正反面。所有人事先都被告知，这枚硬币的程序设定为 60% 的概率出正面。他们可以随意下注，赔率 1 赔 1，最多可以赢到 $250 封顶。

这大概是市场里能见到的最接近"白送钱"的场合了。无聊但稳妥的策略——每把固定押本金的 10-20% 在正面上——几乎次次都能赢大钱。按作者的模拟，走这条路的玩家大约 95% 都能摸到 $250 的上限。

实际情况却并非如此。Haghani 和 White 在《The Missing Billionaires》一书中写道：

• 只有 21% 的参与者达到了 $250 上限。
• 平均 payout 只有 $91，而好的固定比例策略大约能拿到 $240。
• 三分之一的人结束时的本金不到起步的 $25。
• 28% 的人彻底破产，在一个偏向他们的游戏里。

整个研究共抛了 7,253 次，正面出现概率 59.6%。优势货真价实，运气不欠他们任何东西。他们输不是因为游戏不公平，而是因为押得太多：全仓一把梭、亏了翻倍加注，甚至押反面——67% 的人至少干过一次，尽管他们知道反面只有 40% 的概率。

这些人可都受过正规金融训练。连他们在想象中优势最干净的游戏里都算不好仓位，就更没理由只凭直觉去信任真实市场中的仓位决策了。

没人教的那个问题

Haghani 和 White 在《The Missing Billionaires》里更大的观点是：财经媒体和教育几乎把所有注意力都花在"买什么"上，对"买多少"几乎只字不提。这种不对称很残酷：用合理的仓位买到差的资产，你会亏钱，但还能继续交易；用错误的仓位买到好的资产，用他们的话说，"你可能在等结果兑现的过程中，被正常的涨跌轻易拖垮"。

Haghani 是深有体会的。他是长期资本管理公司（LTCM）的创始合伙人之一，这家对冲基金聚集了多位诺贝尔奖得主，却在 1998 年轰然倒塌。正如 William Poundstone 在《Fortune's Formula》一书中所记载的，LTCM 的套利价差非常窄，但信心极大，于是基金把杠杆加到了大约 30 倍。一堆单独看都合理的仓位，组合在一起就成了致命仓位。许多头寸最终确实如模型预测的那样收敛了，基金仍然损失了峰值时约 90% 的价值，因为"最终"来得比流动性撑得住的时间更晚。看对"买什么"，救不了"买多少"上的错误。

回答"该押多少"的那个公式

答案是有的。1956 年，贝尔实验室物理学家 John Kelly Jr. 问：对一个有利可图、可重复下注的赌局，该拿出本金的多大比例下注，才能让资金的长期增长率最大化——而不是让这一把的期望值最大化（那会推向全仓）？他的答案，用赌徒的行话讲：

最优比例 = 优势 / 赔率

这里的"优势"是每押 1 美元的期望盈利，"赔率"是盈利与亏损的比率。对像 60/40 硬币这种 1 赔 1 的赌局，公式简化为 p - q：60% 减 40%，就是押本金的 20%。

这个公式里，比算术更重要的有两点：

1. "不下注"本身就是公式的一部分。 当优势为零时，凯利仓位就是零。Poundstone 说得很直白："当优势为零时，凯利注码 edge/odds 就是零。别下注。"仓位为零，本身就是一种有效、常常还是最优的仓位。
2. 下太多不是更激进，而是数学意义上的自毁。 仓位大小与复利增长的关系是一座山，不是一条直线。增长随仓位加大而上升，在凯利比例处见顶，随后继续加大仓位时增长反而回落，而波动还在上升。在双倍凯利处，长期复利收益大约为零；再往上，增长变为负值。

在《Fortune's Formula》里，凯利比例是一条分界线：过了它，仓位"是疯狂的……因为它们在波动更大的同时降低了复利收益"。

市场版的这座山出现在《The Missing Billionaires》的一个思想实验里：假设你能回到 1927 年，事先知道标普 500 接下来 96 年年化收益是 9.8%，你会用多大杠杆？他们的表格（每日再平衡，按国库券利率加 1% 借钱）显示：2 倍杠杆带来的最终财富最高，代价是 98.5% 的回撤；3 倍时最终财富反而缩水；4 倍时，投资者熬过了 99.999% 的回撤，最终只剩约 $5；5 倍时，1987 年 10 月 19 日那一天就把账户清零了。就算有水晶球，仓位大小依然决定了天花板。

为什么专业人士要把凯利砍掉一半

既然凯利标出了山顶，为什么 Ed Thorp 这类严肃从业者、职业牌手和赛马投注团队都习惯押得更少？三个理由指向同一个方向。

山顶是平的

由于增长在凯利比例处见顶，往左退一步，代价没有看起来那么大。博彩界的标准是半凯利——公式结果的一半。按 Poundstone 的说法，这笔交易便宜得惊人：只放弃四分之一的增长率，也就是年化复利从 10% 变成 7.5%，风险却大幅下降。全凯利下注者本金腰斩后才翻倍（先腰斩）的概率是 1/3；半凯利时，这个概率只有 1/9。

你对优势的估计大概率偏乐观

Bill Benter 打造了史上最强的赛马投注团队之一，他指出：即便是最优秀的模型，也会高估自己的优势。如果真实优势只有估计值的一半，那么你以为的全凯利实际上是双倍凯利——也就是零增长点。只押凯利的一部分，就是为过度自信买的保险。

凯利最大化的是中位数结果，不是你的结果

这是 Paul Samuelson 著名的反对意见。即便在极度有利的游戏里，Poundstone 也举了一个四连注的凯利序列：有 1/16 的概率亏掉本金的 87%。他写道，凯利"避免破产的保证多少有些空洞"。数学很有耐心，人没有。房贷、退休日期、风险承受能力，这就是为什么凯利在实践中的所有衍生方法都是押得比理论上限少，而不是更多。

补充一点：Haghani 和 White 用 Merton share（默顿比例）表达了同一个思路——这是投资者版本的凯利，多了一个个人风险厌恶系数。对典型投资者来说，结果落点大致相同：约为纯对数财富最大化者持仓的一半。

从抛硬币到你的交易账户

你不是在抛做了手脚的硬币。这个框架如何落到交易上？每一步都对应本站的一个计算器。

1. 先量化优势，再谈仓位。 交易期望值 = (胜率 x 平均盈利) - (亏损率 x 平均亏损)。把真实结果输进期望值计算器。如果算出来不是正数，记住：优势为零时，最优仓位就是零。
2. 弄清你的赔率。 凯利公式里的赔率就是盈亏比——平均盈利相对平均亏损。用盈亏比计算器把它算清楚。2:1 的赔率配 40% 胜率，和 1:1 的赔率配 55% 胜率，是两个完全不同的仓位问题。
3. 用规则把风险换算成仓位。 先定死一次止损最多亏掉账户的百分之几，然后让算术决定买多少股。用仓位计算器，输入账户规模、风险比例和止损距离，它会返回仓位大小。假如凯利式估算说 8%，那么半凯利纪律和估计误差两个理由都支持你低得多起步；业内常见的惯例是每笔 1-2% 或更低。
4. 尊重路径，而不只是平均值。 60% 的胜率照样会有连亏。问题在于连亏有多长、你的仓位撑不撑得住。用连亏计算器估算概率，用蒙特卡洛模拟看选定风险比例下资金曲线的分布——包括 Samuelson 警告过的那些难看的分位数。

结语

• 正期望的系统保护不了账户免于破产，仓位才保护得了。硬币从没作弊，是下注的人押得太多。
• 最优仓位 = 优势 ÷ 赔率。证明不了优势时，公式的答案就是零。
• 过了凯利点，加仓位就不再意味着加收益。超过它，多承受的痛苦换来的却是更低的期望增长。双倍凯利长期复利约等于零。
• 专业人士用半凯利或更低，是因为山顶是平的、优势会被高估，而且每个人只能活出一条路径。
• 先把每笔风险定成账户的一个固定小比例，再让计算器把它换算成股数。

资料来源：Victor Haghani 与 James White，《The Missing Billionaires: A Guide to Better Financial Decisions》（Wiley，2023），包括与 Rich Dewey 合作的偏置硬币实验、1927-2022 年杠杆表格和 Merton share 框架；William Poundstone，《Fortune's Formula》（2005），包括凯利公式的历史、过度下注分析、半凯利实践、LTCM 案例和 Samuelson 的批评。本文为教育性内容，不构成投资建议；本站所有计算器均为分析工具，不构成任何推荐。